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Roleta, um jogo de azar comum em cassinos

Um jogo de azar um jogo cujo resultado é fortemente influenciado por algum 🌟 dispositivo de aleatoriedade.

Dispositivos comuns usados incluem dados, piões, cartas de baralho, roletas, bolas numeradas ou, no caso de jogos digitais; 🌟 geradores de números aleatórios.

Um jogo de azar pode ser jogado como um jogo de apostas se os jogadores apostarem dinheiro 🌟 ou qualquer valor monetário.

Os jogos de azar são conhecidos em quase todas as sociedades humanas, embora muitas tenham aprovado leis 🌟 que o restringem.

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Porém, em junho de 2012, foi obrigada a fazer um teste que comprovaria seu 🤑 sexo.

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Com a confirmação de que é homem e capaz de manter relações sexuais, Pramanik está respondendo perante as autoridades pela 🤑 denúncia.[ 12 ]

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Regras 💶 do Bônus Sem Depósito para o Cassino Antes de começar a apostar online usando seu bônus sem depósito sempre leia 💶 os Termos e Condições da oferta escolhida. Afinal, para poder usar esse saldo e sacar seus ganhos, será preciso cumprir 💶 algumas regras que estarão dispostas detalhadamente neste documento. Abaixo trouxemos as regras mais usuais, porém, cada cassino pode ter suas 💶 especificações próprias. 1. Válido para Jogos Específicos É comum que o bônus sem depósito seja válido apenas para determinado jogo. 💶 Ou seja, você só conseguirá usar o saldo para apostar em jogo que ganha dinheiro grátis um slot ou crash game determinado. Por exemplo, 💶 se você optar por um site de apostas com bônus sem depósito para o jogo Spaceman. Isso significa que, o 💶 valor adicionado à jogo que ganha dinheiro grátis conta, somente poderia ser usado neste jogo. Ou, ainda, o cassino poderia oferecer rodadas grátis para 💶 apostar nesse crash game, estipulando um valor de cada rodada. 2. Rollover O rollover é uma das exigências mais comuns 💶 nos bônus de aposta. Ele é um fator de multiplicação que indica uma quantidade em jogo que ganha dinheiro grátis dinheiro que você deve 💶 apostar antes de fazer o saque. Nos bônus tradicionais, geralmente o rollover é sobre o depósito. Mas, nos bônus sem 💶 depósito, normalmente ele é sobre os ganhos. Por exemplo, o bônus de cassino da Betano tem um rollover de 30x 💶 o valor do bônus. Ele não é uma promoção sem depósito. Pelo contrário, oferece 100% do valor depositado em jogo que ganha dinheiro grátis 💶 forma de bônus (até o limite de R$ 500). Mas essa é uma das melhores ofertas de cassino da atualidade, 💶 por isso trouxemos como exemplo para facilitar a compreensão do rollover. Vamos supor que você receba um bônus de R$ 💶 100. O rollover seria de 30x esse valor. Ou seja, você teria que apostar R$ 3.000 no cassino antes de 💶 sacar. No bônus sem depósito, em jogo que ganha dinheiro grátis geral, o rollover recai sobre os ganhos. Então, se uma promoção tiver um 💶 rollover de 10x sobre os ganhos e você acumular um saldo de R$ 100, teria que apostar R$ 1.000 no 💶 cassino antes de sacar. Betano 4.9 de 5 4.9 Apostar Agora 3. Prazo de Uso Praticamente todo bônus de cassino 💶 sem depósito tem um prazo de validade, ou seja, um período para que seja usado e para que você cumpra 💶 os requisitos de apostas, especialmente o rollover. Caso esse prazo não seja respeitado, o bônus acaba expirando, e você perde 💶 tanto o valor grátis como os ganhos acumulados na jogo que ganha dinheiro grátis conta. Cada cassino tem um prazo diferente. Alguns são bem 💶 curtos, por exemplo de 7 dias, e outros são mais longos, até 60 ou 90 dias. Em jogo que ganha dinheiro grátis geral, quanto 💶 mais alto é o rollover, melhor tende a ser o prazo, porém isso não é uma regra. Por exemplo, o 💶 bônus de cassino Parimatch (que não é um bônus sem depósito, mas uma oferta tradicional), tem um prazo de 30 💶 dias. Esse é um dos melhores bônus do mercado, porque oferece um valor alto e condições justas. Então, nessa oferta, 💶 você tem 30 dias de prazo tanto para ativar a promoção, como para cumprir o rollover. E se você não 💶 conseguir cumprir o rollover dentro desse período? Acaba perdendo seu bônus e os ganhos provenientes das apostas feitas com ele. 💶 Parimatch 4.8 de 5 4.8 Apostar Agora 4. Porcentagem de Contribuição A porcentagem de contribuição mostra o quanto cada tipo 💶 de jogo de cassino contribui para atingir o rollover. Por exemplo, pode ser que um cassino estipule que os slots 💶 contribuam com 100%, enquanto o jogo Aviator contribui apenas com 50%. O que isso significa? Que os valores apostados em 💶 jogo que ganha dinheiro grátis slots em jogo que ganha dinheiro grátis geral contribuem totalmente para o rollover. Então, se você apostar R$ 100, essa quantia contará integralmente 💶 na soma para atingir o rollover. Já no Aviator, se você apostar R$ 100, apenas R$ 50 contará para o 💶 rollover. Se você precisar de um rollover de R$ 1.000 e fizer 10 apostas em jogo que ganha dinheiro grátis slots de R$ 100 💶 cada, irá atingir o rollover. Já no Aviator, se fizer 10 apostas de R$ 100, terá contribuído apenas com metade 💶 do valor, ou seja, R$ 500. Claro, esse é somente um exemplo fictício. O importante é conferir nas regras do 💶 bônus sem depósito que você ativou como é a porcentagem de contribuição de cada jogo. 5. Exclusividade É comum que 💶 o bônus de registro sem depósito não possa ser acumulado com outras promoções disponíveis na casa. Então, ao ativá-lo, você 💶 não poderá participar, por exemplo, de uma campanha de giros grátis ou outro tipo de promoção disponível no cassino. Ao 💶 menos enquanto o bônus sem depósito for válido (ou você não tiver cumprido o rollover). 6. Limite de Saque É 💶 muito comum que o bônus sem depositar tenha um limite de ganhos que podem ser sacado. Ou seja, é um 💶 teto de quanto você pode retirar a partir do saldo oferecido gratuitamente pela casa. Por exemplo, vamos supor que você 💶 tenha ativado a oferta sem depósito de R$ 10 do cassino A. E que, nas regras, indicava que o limite 💶 de saque é de R$ 50. Isso significa que, ao apostar os R$ 10, mesmo que você tenha uma mão 💶 boa e consiga, por exemplo, R$ 100 de lucro, somente conseguirá sacar R$ 50.

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Bryan fez jogo que ganha dinheiro grátis 🌝 estreia em 7 de abril no "Raw" ao revelar a jogo que ganha dinheiro grátis marca registrada no "SmackDown".

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Tipos de 🍉 jogos de cartas

Pôquer:

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Em teoria das probabilidades, um martingale é um modelo de jogo honesto (fair game) em que o conhecimento de eventos 🍌 passados nunca ajuda a prever os ganhos futuros e apenas o evento atual importa.

Em particular, um martingale é uma sequência 🍌 de variáveis aleatórias (isto é, um processo estocástico) para o qual, a qualquer tempo específico na sequência observada, a esperança 🍌 do próximo valor na sequência é igual ao valor presentemente observado, mesmo dado o conhecimento de todos os valores anteriormente 🍌 observados.[1]

O movimento browniano parado é um exemplo de martingale.

Ele pode modelar um jogo de cara ou coroa com a possibilidade 🍌 de falência.

Em contraste, em um processo que não é um martingale, o valor esperado do processo em um tempo pode 🍌 ainda ser igual ao valor esperado do processo no tempo seguinte.

Entretanto, o conhecimento de eventos anteriores (por exemplo, todas as 🍌 cartas anteriormente retiradas de um baralho) pode ajudar a reduzir a incerteza sobre os eventos futuros.

Assim, o valor esperado do 🍌 próximo evento, dado o conhecimento do evento presente e de todos os anteriores, pode ser mais elevado do que o 🍌 do presente evento se uma estratégia de ganho for usada.

Martingales excluem a possibilidade de estratégias de ganho baseadas no histórico 🍌 do jogo e, portanto, são um modelo de jogos honestos.

É também uma técnica utilizada no mercado financeiro, para recuperar operações 🍌 perdidas.

Dobra-se a segunda mão para recuperar a anterior, e assim sucessivamente, até o acerto.

Martingale é o sistema de apostas mais 🍌 comum na roleta.

A popularidade deste sistema se deve à jogo que ganha dinheiro grátis simplicidade e acessibilidade.

O jogo Martingale dá a impressão enganosa de 🍌 vitórias rápidas e fáceis.

A essência do sistema de jogo da roleta Martingale é a seguinte: fazemos uma aposta em uma 🍌 chance igual de roleta (vermelho-preto, par-ímpar), por exemplo, no "vermelho": fazemos uma aposta na roleta por 1 dólar; se você 🍌 perder, dobramos e apostamos $ 2.

Se perdermos na roleta, perderemos a aposta atual ($ 2) e a aposta anterior ($ 🍌 1) de $ 3.4, por exemplo.

duas apostas ganham (1 + 2 = $ 3) e temos um ganho líquido de 🍌 $ 1 na roleta.

Se você perder uma segunda vez na roleta Martingale, dobramos a aposta novamente (agora é $ 4).

Se 🍌 ganharmos, ganharemos de volta as duas apostas anteriores (1 + 2 = 3 dólares) e a atual (4 dólares) da 🍌 roda da roleta, e novamente ganharemos 1 dólar do cassino [2].

Originalmente, a expressão "martingale" se referia a um grupo de 🍌 estratégias de aposta popular na França do século XVIII.

[3][4] A mais simples destas estratégias foi projetada para um jogo em 🍌 que o apostador ganhava se a moeda desse cara e perdia se a moeda desse coroa.

A estratégia fazia o apostador 🍌 dobrar jogo que ganha dinheiro grátis aposta depois de cada derrota a fim de que a primeira vitória recuperasse todas as perdas anteriores, além 🍌 de um lucro igual à primeira aposta.

Conforme o dinheiro e o tempo disponível do apostador se aproximam conjuntamente do infinito, 🍌 a possibilidade de eventualmente dar cara se aproxima de 1, o que faz a estratégia de aposta martingale parecer como 🍌 algo certo.

Entretanto, o crescimento exponencial das apostas eventualmente leva os apostadores à falência, assumindo de forma óbvia e realista que 🍌 a quantidade de dinheiro do apostador é finita (uma das razões pelas quais casinos, ainda que desfrutem normativamente de uma 🍌 vantagem matemática nos jogos oferecidos aos seus clientes, impõem limites às apostas).

Um movimento browniano parado, que é um processo martingale, 🍌 pode ser usado para descrever a trajetória de tais jogos.

O conceito de martingale em teoria das probabilidades foi introduzido por 🍌 Paul Lévy em 1934, ainda que ele não lhes tivesse dado este nome.

[5] O termo "martingale" foi introduzido em 1939 🍌 por Jean Ville,[6] que também estendeu a definição à martingales contínuos.

[7] Muito do desenvolvimento original da teoria foi feito por 🍌 Joseph Leo Doob, entre outros.

[8] Parte da motivação daquele trabalho era mostrar a impossibilidade de estratégias de aposta bem-sucedidas.[9]

Uma definição 🍌 básica de um martingale de tempo discreto diz que ele é um processo estocástico (isto é, uma sequência de variáveis 🍌 aleatórias) X 1 , X 2 , X 3 , ...

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...

} de tempo discreto que satisfaz, para qualquer tempo 🍌 n {\displaystyle n} ,

E ( | X n | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert X_{n}\vert )<\infty }

E ( 🍌 X n + 1 ∣ X 1 , .

.

.

, X n ) = X n .

{\displaystyle \mathbf {E} (X_{n+1}\mid 🍌 X_{1},\ldots ,X_{n})=X_{n}.}

Isto é, o valor esperado condicional da próxima observação, dadas todas as observações anteriores, é igual à mais recente 🍌 observação.[10]

Sequências martingale em relação a outra sequência [ editar | editar código-fonte ]

Mais geralmente, uma sequência Y 1 , Y 🍌 2 , Y 3 , ...

{\displaystyle Y_{1},Y_{2},Y_{3},...

} é considerada um martingale em relação a outra sequência X 1 , X 🍌 2 , X 3 , ...

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...

} se, para todo n {\displaystyle n} ,

E ( | Y n | ) 🍌 < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{n}\vert )<\infty }

E ( Y n + 1 ∣ X 1 , .

.

.

, 🍌 X n ) = Y n .

{\displaystyle \mathbf {E} (Y_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=Y_{n}.}

Da mesma forma, um martingale de tempo contínuo em 🍌 relação ao processo estocástico X t {\displaystyle X_{t}} é um processo estocástico Y t {\displaystyle Y_{t}} tal que, para todo 🍌 t {\displaystyle t} ,

E ( | Y t | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{t}\vert )<\infty }

E ( 🍌 Y t ∣ { X τ , τ ≤ s } ) = Y s ∀ s ≤ t .

{\displaystyle 🍌 \mathbf {E} (Y_{t}\mid \{X_{\tau },\tau \leq s\})=Y_{s}\quad \forall s\leq t.}

Isto expressa a propriedade de que o valor esperado condicional de 🍌 qualquer observação no tempo t {\displaystyle t} , dadas todas as observações até o tempo s {\displaystyle s} , é 🍌 igual à observação no tempo s {\displaystyle s} (considerando que s ≤ t {\displaystyle s\leq t} ).

Em geral, um processo 🍌 estocástico Y : T × Ω → S {\displaystyle Y:T\times \Omega \to S} é um martingale em relação a uma 🍌 filtração Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} e medida de probabilidade P {\displaystyle P} se

Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} espaço de 🍌 probabilidade subjacente ( Ω , Σ , P {\displaystyle \Omega ,\Sigma ,P}

espaço de probabilidade subjacente ( Y {\displaystyle Y} Σ 🍌 ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} t {\displaystyle t} T {\displaystyle T} Y t {\displaystyle Y_{t}} função mensurável Σ τ {\displaystyle \Sigma 🍌 _{\tau }}

função mensurável Para cada t {\displaystyle t} Y t {\displaystyle Y_{t}} espaço Lp L 1 ( Ω , Σ 🍌 t , P ; S ) {\displaystyle L^{1}(\Omega ,\Sigma _{t},P;S)}

E P ( | Y t | ) < + ∞ 🍌 ; {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }(|Y_{t}|)<+\infty ;}

Para todo s {\displaystyle s} t {\displaystyle t} s < t {\displaystyle s

E P ( [ Y t − Y s ] χ F ) 🍌 = 0 , {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,} em que χ F {\displaystyle \chi _{F}} função indicadora do 🍌 evento F {\displaystyle F} A última condição é denotada como Y s = E P ( Y t | Σ 🍌 s ) , {\displaystyle Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbf {P} }(Y_{t}|\Sigma _{s}),} que é uma forma geral de valor esperado condicional.[ 11 🍌 ]

É importante notar que a propriedade martingale envolve tanto a filtração, como a medida de probabilidade (em relação à qual 🍌 os valores esperados são assumidos).

É possível que Y {\displaystyle Y} seja um martingale em relação a uma medida, mas não 🍌 em relação a outra.

O Teorema de Girsanov oferece uma forma de encontrar uma medida em relação à qual um processo 🍌 de Itō é um martingale.[12]

Exemplos de martingales [ editar | editar código-fonte ]

Um passeio aleatório não viesado (em qualquer número 🍌 de dimensões) é um exemplo de martingale.

O dinheiro de um apostador é um martingale se todos os jogos de aposta 🍌 com que ele se envolver forem honestos.

Uma urna de Pólya contém uma quantidade de bolas de diferentes cores.

A cada iteração, 🍌 uma bola é aleatoriamente retirada da urna e substituída por várias outras da mesma cor.

Para qualquer cor dada, a fração 🍌 das bolas na urna com aquela cor é um martingale.

Por exemplo, se atualmente 95% da bolas são vermelhas, então, ainda 🍌 que a próxima iteração mais provavelmente adicione bolas vermelhas e não de outra cor, este viés está exatamente equilibrado pelo 🍌 fato de que adicionar mais bolas vermelhas altera a fração de forma muito menos significativa do que adicionar o mesmo 🍌 número de bolas não vermelhas alteraria.

Suponha que X n {\displaystyle X_{n}} moeda honesta foi jogada n {\displaystyle n}

moeda honesta foi 🍌 jogada Considere Y n = X n 2 − n {\displaystyle Y_{n}={X_{n}}^{2}-n} X n {\displaystyle X_{n}} { Y n : 🍌 n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...

\}} raiz quadrada do número de vezes que a moeda 🍌 for jogada.

raiz quadrada do número de vezes que a moeda for jogada.

No caso de um martingale de Moivre, suponha que 🍌 a moeda é desonesta, isto é, viesada, com probabilidade p {\displaystyle p} q = 1 − p {\displaystyle q=1-p}

X n 🍌 + 1 = X n ± 1 {\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1} com + {\displaystyle +} − {\displaystyle -}

Y n = ( 🍌 q / p ) X n .

{\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}.}

Então, { Y n : n = 1 , 2 , 3 , 🍌 ...

} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...

\}} { X n : n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...

\}} E [ 🍌 Y n + 1 ∣ X 1 , .

.

.

, X n ] = p ( q / p ) 🍌 X n + 1 + q ( q / p ) X n − 1 = p ( q / 🍌 p ) ( q / p ) X n + q ( p / q ) ( q / p 🍌 ) X n = q ( q / p ) X n + p ( q / p ) X 🍌 n = ( q / p ) X n = Y n .

{\displaystyle {\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}}

No teste de razão de 🍌 verossimilhança em estatística, uma variável aleatória X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} amostra aleatória X 1 , 🍌 ...

, X n {\displaystyle X_{1},...

,X_{n}} [ 13 ] Considere Y n {\displaystyle Y_{n}}

Y n = ∏ i = 1 n 🍌 g ( X i ) f ( X i ) {\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}}

Se X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} 🍌 g {\displaystyle g} { Y n : n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...

\}} { X 🍌 n : n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}

Suponha que uma ameba se divide em duas 🍌 amebas com probabilidade p {\displaystyle p} 1 − p {\displaystyle 1-p} X n {\displaystyle X_{n}} n {\displaystyle n} X n 🍌 = 0 {\displaystyle X_{n}=0} r {\displaystyle r} r {\displaystyle r} p {\displaystyle p} [ 14 ] Então

{ r X n 🍌 : n = 1 , 2 , 3 , .

.

.

} {\displaystyle \{\,r^{X_{n}}:n=1,2,3,\dots \,\}}

é um martingale em relação a { 🍌 X n : n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}

Uma série martingale criada por software.

Em uma 🍌 comunidade ecológica (um grupo de espécies em um nível trófico particular, competindo por recursos semelhantes em uma área local), o 🍌 número de indivíduos de qualquer espécie particular de tamanho fixado é uma função de tempo (discreto) e pode ser visto 🍌 como uma sequência de variáveis aleatórias.

Esta sequência é um martingale sob a teoria neutra unificada de biodiversidade e biogeografia.

Se { 🍌 N t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}:t\geq 0\}} processo de Poisson com intensidade λ {\displaystyle \lambda } { 🍌 N t − λ t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}-\lambda _{t}:t\geq 0\}}

Submartingales, supermartingales e relação com funções harmônicas 🍌 [ editar | editar código-fonte ]

Há duas generalizações populares de um martingale que também incluem casos em que a observação 🍌 atual X n {\displaystyle X_{n}} não é necessariamente igual à futura expectativa condicional E [ X n + 1 | 🍌 X 1 , ...

, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...

,X_{n}]} , mas, em vez disto, a um limite superior ou inferior 🍌 à expectativa condicional.

Estas definições refletem uma relação entre a teoria do martingale e a teoria do potencial, que é o 🍌 estudo das funções harmônicas.

[15] Assim como um martingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X 🍌 τ : τ ≤ s } − X s = 0 ∀ s ≤ t {\displaystyle E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}-X_{s}=0\forall 🍌 s\leq t} , uma função harmônica f {\displaystyle f} satisfaz a equação diferencial parcial Δ f = 0 {\displaystyle \Delta 🍌 f=0} , em que Δ {\displaystyle \Delta } é o operador de Laplace.

Dado um processo de movimento browniano W t 🍌 {\displaystyle W_{t}} e uma função harmônica f {\displaystyle f} , o processo resultante f ( W t ) {\displaystyle f(W_{t})} 🍌 também é um martingale.

Um submartingale de tempo discreto é uma sequência X 1 , X 2 , X 3 , 🍌 .

.

.

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots } integráveis que satisfaz a

E [ X n + 1 | X 1 , .

.

.

, X 🍌 n ] ≥ X n .

{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}.

} Da mesma forma, um submartingale de tempo contínuo satisfaz a E 🍌 [ X t | { X τ : τ ≤ s } ] ≥ X s ∀ s ≤ t 🍌 .

{\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t.

} Em teoria do potencial, uma função sub-harmônica f {\displaystyle f} Δ 🍌 f ≥ 0 {\displaystyle \Delta f\geq 0} Grosso modo, o prefixo "sub-" é consistente porque a atual observação X n 🍌 {\displaystyle X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ...

, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}

De forma análoga, 🍌 um supermartingale de tempo discreto satisfaz a

E [ X n + 1 | X 1 , .

.

.

, X n 🍌 ] ≤ X n .

{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}.

} Da mesma forma, um supermartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ 🍌 X t | { X τ : τ ≤ s } ] ≤ X s ∀ s ≤ t .

{\displaystyle 🍌 {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t.

} Em teoria do potencial, uma função super-harmônica f {\displaystyle f} Δ f 🍌 ≤ 0 {\displaystyle \Delta f\leq 0} Grosso modo, o prefixo "super-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle 🍌 X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ...

, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}

Exemplos de submartingales e 🍌 supermartingales [ editar | editar código-fonte ]

Todo martingale é também um submartingale e um supermartingale.

Reciprocamente, todo processo estocástico que é 🍌 tanto um submartingale, como um supermartingale, é um martingale.

Considere novamente um apostador que ganha $1 quando uma moeda der cara 🍌 e perde $1 quando a moeda der coroa.

Suponha agora que a moeda possa estar viesada e que ela dê cara 🍌 com probabilidade p {\displaystyle p} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 🍌 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2}

Uma função convexa de um martingale é um submartingale 🍌 pela desigualdade de Jensen.

Por exemplo, o quadrado da riqueza de um apostador em jogo de moeda honesta é um submartingale 🍌 (o que também se segue do fato de que X n 2 − n {\displaystyle {X_{n}}^{2}-n}

Martingales e tempos de parada 🍌 [ editar | editar código-fonte ]

Um tempo de parada em relação a uma sequência de variáveis aleatórias X 1 , 🍌 X 2 , X 3 , ...

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...

} é uma variável aleatória τ {\displaystyle \tau } com a propriedade de 🍌 que para cada t {\displaystyle t} , a ocorrência ou a não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau 🍌 =t} depende apenas dos valores de X 1 , X 2 , X 3 , ...

, X t {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{t}} 🍌 .

A intuição por trás da definição é que, a qualquer tempo particular t {\displaystyle t} , pode-se observar a sequência 🍌 até o momento e dizer se é hora de parar.

Um exemplo na vida real pode ser o tempo em que 🍌 um apostador deixa a mesa de apostas, o que pode ser uma função de suas vitórias anteriores (por exemplo, ele 🍌 pode deixar a mesa apenas quando ele vai à falência), mas ele não pode escolher entre ficar ou sair com 🍌 base no resultando de jogos que ainda não ocorreram.[16]

Em alguns contextos, o conceito de tempo de parada é definido exigindo-se 🍌 apenas que a ocorrência ou não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau =t} seja probabilisticamente independente de X 🍌 t + 1 , X t + 2 , ...

{\displaystyle X_{t+1},X_{t+2},...

} , mas não que isto seja completamente determinado pelo 🍌 histórico do processo até o tempo t {\displaystyle t} .

Isto é uma condição mais fraca do que aquela descrita no 🍌 parágrafo acima, mas é forte o bastante para servir em algumas das provas em que tempos de parada são usados.

Uma 🍌 das propriedades básicas de martingales é que, se ( X t ) t > 0 {\displaystyle (X_{t})_{t>0}} for um (sub/super)martingale 🍌 e τ {\displaystyle \tau } for um tempo de parada, então, o processo parado correspondente ( X t τ ) 🍌 t > 0 {\displaystyle (X_{t}^{\tau })_{t>0}} definido por X t τ := X min { τ , t } {\displaystyle 🍌 X_{t}^{\tau }:=X_{\min\{\tau ,t\}}} é também um (sub/super) martingale.

O conceito de um martingale parado leva a uma série de teoremas importantes, 🍌 incluindo, por exemplo, o teorema da parada opcional, que afirma que, sob certas condições, o valor esperado de um martingale 🍌 em um tempo de parada é igual ao seu valor inicial.

I refer to all the days as "Bonus Days." Now that I am in my golden years I refer to them as "Double Bonus Days!"