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No futebol, é fundamental conhecer as equipes que se enfrentarão, suas estatísticas e histórico recente. Neste artigo, abordaremos a partida 4️⃣ entre Boca Juniors e Estudiantes de La Plata, dois times com tradição e glória no futebol argentino. Descubra quem é 4️⃣ favorito para ganhar e acompanhe nossas análises e dicas.

Boca Juniors

O Boca Juniors, conhecido simplesmente como Boca, é um clube sediado 4️⃣ na cidade de Buenos Aires, Argentina. Fundado em jogo de pênalti que ganha dinheiro 1905, possui uma das torcidas mais fervorosas e tradicionais do país. 4️⃣ A equipe manda suas partidas no famoso estádio La Bombonera, com capacidade para mais de 50 mil torcedores, tornando os 4️⃣ jogos em jogo de pênalti que ganha dinheiro um dos mais animados e ruidosos da América do Sul.

Ao longo de jogo de pênalti que ganha dinheiro história, o Boca obteve 4️⃣ diversos títulos, entre eles 34 Campeonatos Argentinos, 6 Copas Libertadores da América, entre outros. Além disso, tem uma forte rivalidade 4️⃣ com o River Plate, tendo como resultado um dos flsderby mais famosos e disputados do mundo.

Estudiantes de La Plata

Vamos analisar as chances de Fortaleza e Fluminense na parte da hoje.

Fortaleza:

Fortaleza é um tempo que tem sido muito consistenteemente 7️⃣ forte nas últimas tempos.

Eles têm uma das melhores promoções do camponato, o que é grande vantagem.

Además, eles êm um dos 7️⃣ melhores atacante do campeonato que é uma grande amora para qualquer time.

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Outros esportes importantes são basquete, tênis, pádel, hóquei em campo, vôlei, boxe, rúgbi, automobilismo, golf e polo.

Esportes praticados de forma 💹 profissional e recreativa são atletismo, handebol, natação, alpinismo, snowboard, patinação, hipismo, ciclismo, pesca, remo, canoagem e iatismo.

O "Jogo do Pato" 💹 é o esporte nacional, declarado assim oficialmente em 1953 por razões de raízes e tradição.

Na Argentina, o futebol é vivido 💹 com emoção e faz parte da cultura local.

O esporte é praticado no país inteiro, e por todas as classes sociais 💹 e idades.

Ele ficou tão impressionado que ele criou um jogo de pinball que ele começou a jogar e se dedicou a ♨️ jogar com ele, como o jogo de futebol.

Ele e suas colegas começaram a trabalhar para a Nintendo na Electronic Entertainment ♨️ Expo de 2008, onde um dos produtores de Pinball, Hirono Kojima, escreveu um guia descrevendo as técnicas gerais para uma ♨️ bola de Pinball.

O jogo recebeu um prêmio em 2008, mas foi cancelado.

O jogo de pinball que ele criou, "Producted Witchcraft", ♨️ vendeu aproximadamente 300.000 cópias.

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[1] Uma vantagem de seu método formal em contraste com a epistemologia tradicional é que seus conceitos e teoremas podem ♠ ser definidos com um alto grau de precisão.

Baseia-se na ideia de que as crenças podem ser interpretadas como probabilidades subjetivas.

Como ♠ tal, elas estão sujeitas às leis da teoria das probabilidades, que atuam como normas de racionalidade.

Estas normas podem ser divididas ♠ em condições estáticas, governando a racionalidade das crenças a qualquer momento, e condições dinâmicas, governando como os agentes racionais devem ♠ mudar suas crenças ao receberem nova evidência.

A expressão Bayesiana mais característica destes princípios é encontrada na forma das chamadas "Dutch ♠ books" que ilustram a irracionalidade nos agentes através de uma série de apostas que levam a uma perda para o ♠ agente, não importa qual dos eventos probabilísticos ocorra.

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Em teoria das probabilidades, um martingale é um modelo de jogo honesto (fair game) em que o conhecimento de eventos 🌛 passados nunca ajuda a prever os ganhos futuros e apenas o evento atual importa.

Em particular, um martingale é uma sequência 🌛 de variáveis aleatórias (isto é, um processo estocástico) para o qual, a qualquer tempo específico na sequência observada, a esperança 🌛 do próximo valor na sequência é igual ao valor presentemente observado, mesmo dado o conhecimento de todos os valores anteriormente 🌛 observados.[1]

O movimento browniano parado é um exemplo de martingale.

Ele pode modelar um jogo de cara ou coroa com a possibilidade 🌛 de falência.

Em contraste, em um processo que não é um martingale, o valor esperado do processo em um tempo pode 🌛 ainda ser igual ao valor esperado do processo no tempo seguinte.

Entretanto, o conhecimento de eventos anteriores (por exemplo, todas as 🌛 cartas anteriormente retiradas de um baralho) pode ajudar a reduzir a incerteza sobre os eventos futuros.

Assim, o valor esperado do 🌛 próximo evento, dado o conhecimento do evento presente e de todos os anteriores, pode ser mais elevado do que o 🌛 do presente evento se uma estratégia de ganho for usada.

Martingales excluem a possibilidade de estratégias de ganho baseadas no histórico 🌛 do jogo e, portanto, são um modelo de jogos honestos.

É também uma técnica utilizada no mercado financeiro, para recuperar operações 🌛 perdidas.

Dobra-se a segunda mão para recuperar a anterior, e assim sucessivamente, até o acerto.

Martingale é o sistema de apostas mais 🌛 comum na roleta.

A popularidade deste sistema se deve à jogo de pênalti que ganha dinheiro simplicidade e acessibilidade.

O jogo Martingale dá a impressão enganosa de 🌛 vitórias rápidas e fáceis.

A essência do sistema de jogo da roleta Martingale é a seguinte: fazemos uma aposta em uma 🌛 chance igual de roleta (vermelho-preto, par-ímpar), por exemplo, no "vermelho": fazemos uma aposta na roleta por 1 dólar; se você 🌛 perder, dobramos e apostamos $ 2.

Se perdermos na roleta, perderemos a aposta atual ($ 2) e a aposta anterior ($ 🌛 1) de $ 3.4, por exemplo.

duas apostas ganham (1 + 2 = $ 3) e temos um ganho líquido de 🌛 $ 1 na roleta.

Se você perder uma segunda vez na roleta Martingale, dobramos a aposta novamente (agora é $ 4).

Se 🌛 ganharmos, ganharemos de volta as duas apostas anteriores (1 + 2 = 3 dólares) e a atual (4 dólares) da 🌛 roda da roleta, e novamente ganharemos 1 dólar do cassino [2].

Originalmente, a expressão "martingale" se referia a um grupo de 🌛 estratégias de aposta popular na França do século XVIII.

[3][4] A mais simples destas estratégias foi projetada para um jogo em 🌛 que o apostador ganhava se a moeda desse cara e perdia se a moeda desse coroa.

A estratégia fazia o apostador 🌛 dobrar jogo de pênalti que ganha dinheiro aposta depois de cada derrota a fim de que a primeira vitória recuperasse todas as perdas anteriores, além 🌛 de um lucro igual à primeira aposta.

Conforme o dinheiro e o tempo disponível do apostador se aproximam conjuntamente do infinito, 🌛 a possibilidade de eventualmente dar cara se aproxima de 1, o que faz a estratégia de aposta martingale parecer como 🌛 algo certo.

Entretanto, o crescimento exponencial das apostas eventualmente leva os apostadores à falência, assumindo de forma óbvia e realista que 🌛 a quantidade de dinheiro do apostador é finita (uma das razões pelas quais casinos, ainda que desfrutem normativamente de uma 🌛 vantagem matemática nos jogos oferecidos aos seus clientes, impõem limites às apostas).

Um movimento browniano parado, que é um processo martingale, 🌛 pode ser usado para descrever a trajetória de tais jogos.

O conceito de martingale em teoria das probabilidades foi introduzido por 🌛 Paul Lévy em 1934, ainda que ele não lhes tivesse dado este nome.

[5] O termo "martingale" foi introduzido em 1939 🌛 por Jean Ville,[6] que também estendeu a definição à martingales contínuos.

[7] Muito do desenvolvimento original da teoria foi feito por 🌛 Joseph Leo Doob, entre outros.

[8] Parte da motivação daquele trabalho era mostrar a impossibilidade de estratégias de aposta bem-sucedidas.[9]

Uma definição 🌛 básica de um martingale de tempo discreto diz que ele é um processo estocástico (isto é, uma sequência de variáveis 🌛 aleatórias) X 1 , X 2 , X 3 , ...

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...

} de tempo discreto que satisfaz, para qualquer tempo 🌛 n {\displaystyle n} ,

E ( | X n | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert X_{n}\vert )<\infty }

E ( 🌛 X n + 1 ∣ X 1 , .

.

.

, X n ) = X n .

{\displaystyle \mathbf {E} (X_{n+1}\mid 🌛 X_{1},\ldots ,X_{n})=X_{n}.}

Isto é, o valor esperado condicional da próxima observação, dadas todas as observações anteriores, é igual à mais recente 🌛 observação.[10]

Sequências martingale em relação a outra sequência [ editar | editar código-fonte ]

Mais geralmente, uma sequência Y 1 , Y 🌛 2 , Y 3 , ...

{\displaystyle Y_{1},Y_{2},Y_{3},...

} é considerada um martingale em relação a outra sequência X 1 , X 🌛 2 , X 3 , ...

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...

} se, para todo n {\displaystyle n} ,

E ( | Y n | ) 🌛 < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{n}\vert )<\infty }

E ( Y n + 1 ∣ X 1 , .

.

.

, 🌛 X n ) = Y n .

{\displaystyle \mathbf {E} (Y_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=Y_{n}.}

Da mesma forma, um martingale de tempo contínuo em 🌛 relação ao processo estocástico X t {\displaystyle X_{t}} é um processo estocástico Y t {\displaystyle Y_{t}} tal que, para todo 🌛 t {\displaystyle t} ,

E ( | Y t | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{t}\vert )<\infty }

E ( 🌛 Y t ∣ { X τ , τ ≤ s } ) = Y s ∀ s ≤ t .

{\displaystyle 🌛 \mathbf {E} (Y_{t}\mid \{X_{\tau },\tau \leq s\})=Y_{s}\quad \forall s\leq t.}

Isto expressa a propriedade de que o valor esperado condicional de 🌛 qualquer observação no tempo t {\displaystyle t} , dadas todas as observações até o tempo s {\displaystyle s} , é 🌛 igual à observação no tempo s {\displaystyle s} (considerando que s ≤ t {\displaystyle s\leq t} ).

Em geral, um processo 🌛 estocástico Y : T × Ω → S {\displaystyle Y:T\times \Omega \to S} é um martingale em relação a uma 🌛 filtração Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} e medida de probabilidade P {\displaystyle P} se

Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} espaço de 🌛 probabilidade subjacente ( Ω , Σ , P {\displaystyle \Omega ,\Sigma ,P}

espaço de probabilidade subjacente ( Y {\displaystyle Y} Σ 🌛 ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} t {\displaystyle t} T {\displaystyle T} Y t {\displaystyle Y_{t}} função mensurável Σ τ {\displaystyle \Sigma 🌛 _{\tau }}

função mensurável Para cada t {\displaystyle t} Y t {\displaystyle Y_{t}} espaço Lp L 1 ( Ω , Σ 🌛 t , P ; S ) {\displaystyle L^{1}(\Omega ,\Sigma _{t},P;S)}

E P ( | Y t | ) < + ∞ 🌛 ; {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }(|Y_{t}|)<+\infty ;}

Para todo s {\displaystyle s} t {\displaystyle t} s < t {\displaystyle s

E P ( [ Y t − Y s ] χ F ) 🌛 = 0 , {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,} em que χ F {\displaystyle \chi _{F}} função indicadora do 🌛 evento F {\displaystyle F} A última condição é denotada como Y s = E P ( Y t | Σ 🌛 s ) , {\displaystyle Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbf {P} }(Y_{t}|\Sigma _{s}),} que é uma forma geral de valor esperado condicional.[ 11 🌛 ]

É importante notar que a propriedade martingale envolve tanto a filtração, como a medida de probabilidade (em relação à qual 🌛 os valores esperados são assumidos).

É possível que Y {\displaystyle Y} seja um martingale em relação a uma medida, mas não 🌛 em relação a outra.

O Teorema de Girsanov oferece uma forma de encontrar uma medida em relação à qual um processo 🌛 de Itō é um martingale.[12]

Exemplos de martingales [ editar | editar código-fonte ]

Um passeio aleatório não viesado (em qualquer número 🌛 de dimensões) é um exemplo de martingale.

O dinheiro de um apostador é um martingale se todos os jogos de aposta 🌛 com que ele se envolver forem honestos.

Uma urna de Pólya contém uma quantidade de bolas de diferentes cores.

A cada iteração, 🌛 uma bola é aleatoriamente retirada da urna e substituída por várias outras da mesma cor.

Para qualquer cor dada, a fração 🌛 das bolas na urna com aquela cor é um martingale.

Por exemplo, se atualmente 95% da bolas são vermelhas, então, ainda 🌛 que a próxima iteração mais provavelmente adicione bolas vermelhas e não de outra cor, este viés está exatamente equilibrado pelo 🌛 fato de que adicionar mais bolas vermelhas altera a fração de forma muito menos significativa do que adicionar o mesmo 🌛 número de bolas não vermelhas alteraria.

Suponha que X n {\displaystyle X_{n}} moeda honesta foi jogada n {\displaystyle n}

moeda honesta foi 🌛 jogada Considere Y n = X n 2 − n {\displaystyle Y_{n}={X_{n}}^{2}-n} X n {\displaystyle X_{n}} { Y n : 🌛 n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...

\}} raiz quadrada do número de vezes que a moeda 🌛 for jogada.

raiz quadrada do número de vezes que a moeda for jogada.

No caso de um martingale de Moivre, suponha que 🌛 a moeda é desonesta, isto é, viesada, com probabilidade p {\displaystyle p} q = 1 − p {\displaystyle q=1-p}

X n 🌛 + 1 = X n ± 1 {\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1} com + {\displaystyle +} − {\displaystyle -}

Y n = ( 🌛 q / p ) X n .

{\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}.}

Então, { Y n : n = 1 , 2 , 3 , 🌛 ...

} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...

\}} { X n : n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...

\}} E [ 🌛 Y n + 1 ∣ X 1 , .

.

.

, X n ] = p ( q / p ) 🌛 X n + 1 + q ( q / p ) X n − 1 = p ( q / 🌛 p ) ( q / p ) X n + q ( p / q ) ( q / p 🌛 ) X n = q ( q / p ) X n + p ( q / p ) X 🌛 n = ( q / p ) X n = Y n .

{\displaystyle {\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}}

No teste de razão de 🌛 verossimilhança em estatística, uma variável aleatória X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} amostra aleatória X 1 , 🌛 ...

, X n {\displaystyle X_{1},...

,X_{n}} [ 13 ] Considere Y n {\displaystyle Y_{n}}

Y n = ∏ i = 1 n 🌛 g ( X i ) f ( X i ) {\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}}

Se X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} 🌛 g {\displaystyle g} { Y n : n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...

\}} { X 🌛 n : n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}

Suponha que uma ameba se divide em duas 🌛 amebas com probabilidade p {\displaystyle p} 1 − p {\displaystyle 1-p} X n {\displaystyle X_{n}} n {\displaystyle n} X n 🌛 = 0 {\displaystyle X_{n}=0} r {\displaystyle r} r {\displaystyle r} p {\displaystyle p} [ 14 ] Então

{ r X n 🌛 : n = 1 , 2 , 3 , .

.

.

} {\displaystyle \{\,r^{X_{n}}:n=1,2,3,\dots \,\}}

é um martingale em relação a { 🌛 X n : n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}

Uma série martingale criada por software.

Em uma 🌛 comunidade ecológica (um grupo de espécies em um nível trófico particular, competindo por recursos semelhantes em uma área local), o 🌛 número de indivíduos de qualquer espécie particular de tamanho fixado é uma função de tempo (discreto) e pode ser visto 🌛 como uma sequência de variáveis aleatórias.

Esta sequência é um martingale sob a teoria neutra unificada de biodiversidade e biogeografia.

Se { 🌛 N t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}:t\geq 0\}} processo de Poisson com intensidade λ {\displaystyle \lambda } { 🌛 N t − λ t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}-\lambda _{t}:t\geq 0\}}

Submartingales, supermartingales e relação com funções harmônicas 🌛 [ editar | editar código-fonte ]

Há duas generalizações populares de um martingale que também incluem casos em que a observação 🌛 atual X n {\displaystyle X_{n}} não é necessariamente igual à futura expectativa condicional E [ X n + 1 | 🌛 X 1 , ...

, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...

,X_{n}]} , mas, em vez disto, a um limite superior ou inferior 🌛 à expectativa condicional.

Estas definições refletem uma relação entre a teoria do martingale e a teoria do potencial, que é o 🌛 estudo das funções harmônicas.

[15] Assim como um martingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X 🌛 τ : τ ≤ s } − X s = 0 ∀ s ≤ t {\displaystyle E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}-X_{s}=0\forall 🌛 s\leq t} , uma função harmônica f {\displaystyle f} satisfaz a equação diferencial parcial Δ f = 0 {\displaystyle \Delta 🌛 f=0} , em que Δ {\displaystyle \Delta } é o operador de Laplace.

Dado um processo de movimento browniano W t 🌛 {\displaystyle W_{t}} e uma função harmônica f {\displaystyle f} , o processo resultante f ( W t ) {\displaystyle f(W_{t})} 🌛 também é um martingale.

Um submartingale de tempo discreto é uma sequência X 1 , X 2 , X 3 , 🌛 .

.

.

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots } integráveis que satisfaz a

E [ X n + 1 | X 1 , .

.

.

, X 🌛 n ] ≥ X n .

{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}.

} Da mesma forma, um submartingale de tempo contínuo satisfaz a E 🌛 [ X t | { X τ : τ ≤ s } ] ≥ X s ∀ s ≤ t 🌛 .

{\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t.

} Em teoria do potencial, uma função sub-harmônica f {\displaystyle f} Δ 🌛 f ≥ 0 {\displaystyle \Delta f\geq 0} Grosso modo, o prefixo "sub-" é consistente porque a atual observação X n 🌛 {\displaystyle X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ...

, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}

De forma análoga, 🌛 um supermartingale de tempo discreto satisfaz a

E [ X n + 1 | X 1 , .

.

.

, X n 🌛 ] ≤ X n .

{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}.

} Da mesma forma, um supermartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ 🌛 X t | { X τ : τ ≤ s } ] ≤ X s ∀ s ≤ t .

{\displaystyle 🌛 {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t.

} Em teoria do potencial, uma função super-harmônica f {\displaystyle f} Δ f 🌛 ≤ 0 {\displaystyle \Delta f\leq 0} Grosso modo, o prefixo "super-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle 🌛 X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ...

, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}

Exemplos de submartingales e 🌛 supermartingales [ editar | editar código-fonte ]

Todo martingale é também um submartingale e um supermartingale.

Reciprocamente, todo processo estocástico que é 🌛 tanto um submartingale, como um supermartingale, é um martingale.

Considere novamente um apostador que ganha $1 quando uma moeda der cara 🌛 e perde $1 quando a moeda der coroa.

Suponha agora que a moeda possa estar viesada e que ela dê cara 🌛 com probabilidade p {\displaystyle p} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 🌛 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2}

Uma função convexa de um martingale é um submartingale 🌛 pela desigualdade de Jensen.

Por exemplo, o quadrado da riqueza de um apostador em jogo de moeda honesta é um submartingale 🌛 (o que também se segue do fato de que X n 2 − n {\displaystyle {X_{n}}^{2}-n}

Martingales e tempos de parada 🌛 [ editar | editar código-fonte ]

Um tempo de parada em relação a uma sequência de variáveis aleatórias X 1 , 🌛 X 2 , X 3 , ...

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...

} é uma variável aleatória τ {\displaystyle \tau } com a propriedade de 🌛 que para cada t {\displaystyle t} , a ocorrência ou a não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau 🌛 =t} depende apenas dos valores de X 1 , X 2 , X 3 , ...

, X t {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{t}} 🌛 .

A intuição por trás da definição é que, a qualquer tempo particular t {\displaystyle t} , pode-se observar a sequência 🌛 até o momento e dizer se é hora de parar.

Um exemplo na vida real pode ser o tempo em que 🌛 um apostador deixa a mesa de apostas, o que pode ser uma função de suas vitórias anteriores (por exemplo, ele 🌛 pode deixar a mesa apenas quando ele vai à falência), mas ele não pode escolher entre ficar ou sair com 🌛 base no resultando de jogos que ainda não ocorreram.[16]

Em alguns contextos, o conceito de tempo de parada é definido exigindo-se 🌛 apenas que a ocorrência ou não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau =t} seja probabilisticamente independente de X 🌛 t + 1 , X t + 2 , ...

{\displaystyle X_{t+1},X_{t+2},...

} , mas não que isto seja completamente determinado pelo 🌛 histórico do processo até o tempo t {\displaystyle t} .

Isto é uma condição mais fraca do que aquela descrita no 🌛 parágrafo acima, mas é forte o bastante para servir em algumas das provas em que tempos de parada são usados.

Uma 🌛 das propriedades básicas de martingales é que, se ( X t ) t > 0 {\displaystyle (X_{t})_{t>0}} for um (sub/super)martingale 🌛 e τ {\displaystyle \tau } for um tempo de parada, então, o processo parado correspondente ( X t τ ) 🌛 t > 0 {\displaystyle (X_{t}^{\tau })_{t>0}} definido por X t τ := X min { τ , t } {\displaystyle 🌛 X_{t}^{\tau }:=X_{\min\{\tau ,t\}}} é também um (sub/super) martingale.

O conceito de um martingale parado leva a uma série de teoremas importantes, 🌛 incluindo, por exemplo, o teorema da parada opcional, que afirma que, sob certas condições, o valor esperado de um martingale 🌛 em um tempo de parada é igual ao seu valor inicial.

I refer to all the days as "Bonus Days." Now that I am in my golden years I refer to them as "Double Bonus Days!"