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Em teoria das probabilidades, um martingale é um modelo de jogo honesto (fair game) em que o conhecimento de eventos 💵 passados nunca ajuda a prever os ganhos futuros e apenas o evento atual importa.

Em particular, um martingale é uma sequência 💵 de variáveis aleatórias (isto é, um processo estocástico) para o qual, a qualquer tempo específico na sequência observada, a esperança 💵 do próximo valor na sequência é igual ao valor presentemente observado, mesmo dado o conhecimento de todos os valores anteriormente 💵 observados.[1]

O movimento browniano parado é um exemplo de martingale.

Ele pode modelar um jogo de cara ou coroa com a possibilidade 💵 de falência.

Em contraste, em um processo que não é um martingale, o valor esperado do processo em um tempo pode 💵 ainda ser igual ao valor esperado do processo no tempo seguinte.

Entretanto, o conhecimento de eventos anteriores (por exemplo, todas as 💵 cartas anteriormente retiradas de um baralho) pode ajudar a reduzir a incerteza sobre os eventos futuros.

Assim, o valor esperado do 💵 próximo evento, dado o conhecimento do evento presente e de todos os anteriores, pode ser mais elevado do que o 💵 do presente evento se uma estratégia de ganho for usada.

Martingales excluem a possibilidade de estratégias de ganho baseadas no histórico 💵 do jogo e, portanto, são um modelo de jogos honestos.

É também uma técnica utilizada no mercado financeiro, para recuperar operações 💵 perdidas.

Dobra-se a segunda mão para recuperar a anterior, e assim sucessivamente, até o acerto.

Martingale é o sistema de apostas mais 💵 comum na roleta.

A popularidade deste sistema se deve à como ganhar no bets simplicidade e acessibilidade.

O jogo Martingale dá a impressão enganosa de 💵 vitórias rápidas e fáceis.

A essência do sistema de jogo da roleta Martingale é a seguinte: fazemos uma aposta em uma 💵 chance igual de roleta (vermelho-preto, par-ímpar), por exemplo, no "vermelho": fazemos uma aposta na roleta por 1 dólar; se você 💵 perder, dobramos e apostamos $ 2.

Se perdermos na roleta, perderemos a aposta atual ($ 2) e a aposta anterior ($ 💵 1) de $ 3.4, por exemplo.

duas apostas ganham (1 + 2 = $ 3) e temos um ganho líquido de 💵 $ 1 na roleta.

Se você perder uma segunda vez na roleta Martingale, dobramos a aposta novamente (agora é $ 4).

Se 💵 ganharmos, ganharemos de volta as duas apostas anteriores (1 + 2 = 3 dólares) e a atual (4 dólares) da 💵 roda da roleta, e novamente ganharemos 1 dólar do cassino [2].

Originalmente, a expressão "martingale" se referia a um grupo de 💵 estratégias de aposta popular na França do século XVIII.

[3][4] A mais simples destas estratégias foi projetada para um jogo em 💵 que o apostador ganhava se a moeda desse cara e perdia se a moeda desse coroa.

A estratégia fazia o apostador 💵 dobrar como ganhar no bets aposta depois de cada derrota a fim de que a primeira vitória recuperasse todas as perdas anteriores, além 💵 de um lucro igual à primeira aposta.

Conforme o dinheiro e o tempo disponível do apostador se aproximam conjuntamente do infinito, 💵 a possibilidade de eventualmente dar cara se aproxima de 1, o que faz a estratégia de aposta martingale parecer como 💵 algo certo.

Entretanto, o crescimento exponencial das apostas eventualmente leva os apostadores à falência, assumindo de forma óbvia e realista que 💵 a quantidade de dinheiro do apostador é finita (uma das razões pelas quais casinos, ainda que desfrutem normativamente de uma 💵 vantagem matemática nos jogos oferecidos aos seus clientes, impõem limites às apostas).

Um movimento browniano parado, que é um processo martingale, 💵 pode ser usado para descrever a trajetória de tais jogos.

O conceito de martingale em teoria das probabilidades foi introduzido por 💵 Paul Lévy em 1934, ainda que ele não lhes tivesse dado este nome.

[5] O termo "martingale" foi introduzido em 1939 💵 por Jean Ville,[6] que também estendeu a definição à martingales contínuos.

[7] Muito do desenvolvimento original da teoria foi feito por 💵 Joseph Leo Doob, entre outros.

[8] Parte da motivação daquele trabalho era mostrar a impossibilidade de estratégias de aposta bem-sucedidas.[9]

Uma definição 💵 básica de um martingale de tempo discreto diz que ele é um processo estocástico (isto é, uma sequência de variáveis 💵 aleatórias) X 1 , X 2 , X 3 , ...

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...

} de tempo discreto que satisfaz, para qualquer tempo 💵 n {\displaystyle n} ,

E ( | X n | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert X_{n}\vert )<\infty }

E ( 💵 X n + 1 ∣ X 1 , .

.

.

, X n ) = X n .

{\displaystyle \mathbf {E} (X_{n+1}\mid 💵 X_{1},\ldots ,X_{n})=X_{n}.}

Isto é, o valor esperado condicional da próxima observação, dadas todas as observações anteriores, é igual à mais recente 💵 observação.[10]

Sequências martingale em relação a outra sequência [ editar | editar código-fonte ]

Mais geralmente, uma sequência Y 1 , Y 💵 2 , Y 3 , ...

{\displaystyle Y_{1},Y_{2},Y_{3},...

} é considerada um martingale em relação a outra sequência X 1 , X 💵 2 , X 3 , ...

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...

} se, para todo n {\displaystyle n} ,

E ( | Y n | ) 💵 < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{n}\vert )<\infty }

E ( Y n + 1 ∣ X 1 , .

.

.

, 💵 X n ) = Y n .

{\displaystyle \mathbf {E} (Y_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=Y_{n}.}

Da mesma forma, um martingale de tempo contínuo em 💵 relação ao processo estocástico X t {\displaystyle X_{t}} é um processo estocástico Y t {\displaystyle Y_{t}} tal que, para todo 💵 t {\displaystyle t} ,

E ( | Y t | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{t}\vert )<\infty }

E ( 💵 Y t ∣ { X τ , τ ≤ s } ) = Y s ∀ s ≤ t .

{\displaystyle 💵 \mathbf {E} (Y_{t}\mid \{X_{\tau },\tau \leq s\})=Y_{s}\quad \forall s\leq t.}

Isto expressa a propriedade de que o valor esperado condicional de 💵 qualquer observação no tempo t {\displaystyle t} , dadas todas as observações até o tempo s {\displaystyle s} , é 💵 igual à observação no tempo s {\displaystyle s} (considerando que s ≤ t {\displaystyle s\leq t} ).

Em geral, um processo 💵 estocástico Y : T × Ω → S {\displaystyle Y:T\times \Omega \to S} é um martingale em relação a uma 💵 filtração Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} e medida de probabilidade P {\displaystyle P} se

Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} espaço de 💵 probabilidade subjacente ( Ω , Σ , P {\displaystyle \Omega ,\Sigma ,P}

espaço de probabilidade subjacente ( Y {\displaystyle Y} Σ 💵 ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} t {\displaystyle t} T {\displaystyle T} Y t {\displaystyle Y_{t}} função mensurável Σ τ {\displaystyle \Sigma 💵 _{\tau }}

função mensurável Para cada t {\displaystyle t} Y t {\displaystyle Y_{t}} espaço Lp L 1 ( Ω , Σ 💵 t , P ; S ) {\displaystyle L^{1}(\Omega ,\Sigma _{t},P;S)}

E P ( | Y t | ) < + ∞ 💵 ; {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }(|Y_{t}|)<+\infty ;}

Para todo s {\displaystyle s} t {\displaystyle t} s < t {\displaystyle s

E P ( [ Y t − Y s ] χ F ) 💵 = 0 , {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,} em que χ F {\displaystyle \chi _{F}} função indicadora do 💵 evento F {\displaystyle F} A última condição é denotada como Y s = E P ( Y t | Σ 💵 s ) , {\displaystyle Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbf {P} }(Y_{t}|\Sigma _{s}),} que é uma forma geral de valor esperado condicional.[ 11 💵 ]

É importante notar que a propriedade martingale envolve tanto a filtração, como a medida de probabilidade (em relação à qual 💵 os valores esperados são assumidos).

É possível que Y {\displaystyle Y} seja um martingale em relação a uma medida, mas não 💵 em relação a outra.

O Teorema de Girsanov oferece uma forma de encontrar uma medida em relação à qual um processo 💵 de Itō é um martingale.[12]

Exemplos de martingales [ editar | editar código-fonte ]

Um passeio aleatório não viesado (em qualquer número 💵 de dimensões) é um exemplo de martingale.

O dinheiro de um apostador é um martingale se todos os jogos de aposta 💵 com que ele se envolver forem honestos.

Uma urna de Pólya contém uma quantidade de bolas de diferentes cores.

A cada iteração, 💵 uma bola é aleatoriamente retirada da urna e substituída por várias outras da mesma cor.

Para qualquer cor dada, a fração 💵 das bolas na urna com aquela cor é um martingale.

Por exemplo, se atualmente 95% da bolas são vermelhas, então, ainda 💵 que a próxima iteração mais provavelmente adicione bolas vermelhas e não de outra cor, este viés está exatamente equilibrado pelo 💵 fato de que adicionar mais bolas vermelhas altera a fração de forma muito menos significativa do que adicionar o mesmo 💵 número de bolas não vermelhas alteraria.

Suponha que X n {\displaystyle X_{n}} moeda honesta foi jogada n {\displaystyle n}

moeda honesta foi 💵 jogada Considere Y n = X n 2 − n {\displaystyle Y_{n}={X_{n}}^{2}-n} X n {\displaystyle X_{n}} { Y n : 💵 n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...

\}} raiz quadrada do número de vezes que a moeda 💵 for jogada.

raiz quadrada do número de vezes que a moeda for jogada.

No caso de um martingale de Moivre, suponha que 💵 a moeda é desonesta, isto é, viesada, com probabilidade p {\displaystyle p} q = 1 − p {\displaystyle q=1-p}

X n 💵 + 1 = X n ± 1 {\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1} com + {\displaystyle +} − {\displaystyle -}

Y n = ( 💵 q / p ) X n .

{\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}.}

Então, { Y n : n = 1 , 2 , 3 , 💵 ...

} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...

\}} { X n : n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...

\}} E [ 💵 Y n + 1 ∣ X 1 , .

.

.

, X n ] = p ( q / p ) 💵 X n + 1 + q ( q / p ) X n − 1 = p ( q / 💵 p ) ( q / p ) X n + q ( p / q ) ( q / p 💵 ) X n = q ( q / p ) X n + p ( q / p ) X 💵 n = ( q / p ) X n = Y n .

{\displaystyle {\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}}

No teste de razão de 💵 verossimilhança em estatística, uma variável aleatória X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} amostra aleatória X 1 , 💵 ...

, X n {\displaystyle X_{1},...

,X_{n}} [ 13 ] Considere Y n {\displaystyle Y_{n}}

Y n = ∏ i = 1 n 💵 g ( X i ) f ( X i ) {\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}}

Se X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} 💵 g {\displaystyle g} { Y n : n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...

\}} { X 💵 n : n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}

Suponha que uma ameba se divide em duas 💵 amebas com probabilidade p {\displaystyle p} 1 − p {\displaystyle 1-p} X n {\displaystyle X_{n}} n {\displaystyle n} X n 💵 = 0 {\displaystyle X_{n}=0} r {\displaystyle r} r {\displaystyle r} p {\displaystyle p} [ 14 ] Então

{ r X n 💵 : n = 1 , 2 , 3 , .

.

.

} {\displaystyle \{\,r^{X_{n}}:n=1,2,3,\dots \,\}}

é um martingale em relação a { 💵 X n : n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}

Uma série martingale criada por software.

Em uma 💵 comunidade ecológica (um grupo de espécies em um nível trófico particular, competindo por recursos semelhantes em uma área local), o 💵 número de indivíduos de qualquer espécie particular de tamanho fixado é uma função de tempo (discreto) e pode ser visto 💵 como uma sequência de variáveis aleatórias.

Esta sequência é um martingale sob a teoria neutra unificada de biodiversidade e biogeografia.

Se { 💵 N t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}:t\geq 0\}} processo de Poisson com intensidade λ {\displaystyle \lambda } { 💵 N t − λ t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}-\lambda _{t}:t\geq 0\}}

Submartingales, supermartingales e relação com funções harmônicas 💵 [ editar | editar código-fonte ]

Há duas generalizações populares de um martingale que também incluem casos em que a observação 💵 atual X n {\displaystyle X_{n}} não é necessariamente igual à futura expectativa condicional E [ X n + 1 | 💵 X 1 , ...

, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...

,X_{n}]} , mas, em vez disto, a um limite superior ou inferior 💵 à expectativa condicional.

Estas definições refletem uma relação entre a teoria do martingale e a teoria do potencial, que é o 💵 estudo das funções harmônicas.

[15] Assim como um martingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X 💵 τ : τ ≤ s } − X s = 0 ∀ s ≤ t {\displaystyle E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}-X_{s}=0\forall 💵 s\leq t} , uma função harmônica f {\displaystyle f} satisfaz a equação diferencial parcial Δ f = 0 {\displaystyle \Delta 💵 f=0} , em que Δ {\displaystyle \Delta } é o operador de Laplace.

Dado um processo de movimento browniano W t 💵 {\displaystyle W_{t}} e uma função harmônica f {\displaystyle f} , o processo resultante f ( W t ) {\displaystyle f(W_{t})} 💵 também é um martingale.

Um submartingale de tempo discreto é uma sequência X 1 , X 2 , X 3 , 💵 .

.

.

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots } integráveis que satisfaz a

E [ X n + 1 | X 1 , .

.

.

, X 💵 n ] ≥ X n .

{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}.

} Da mesma forma, um submartingale de tempo contínuo satisfaz a E 💵 [ X t | { X τ : τ ≤ s } ] ≥ X s ∀ s ≤ t 💵 .

{\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t.

} Em teoria do potencial, uma função sub-harmônica f {\displaystyle f} Δ 💵 f ≥ 0 {\displaystyle \Delta f\geq 0} Grosso modo, o prefixo "sub-" é consistente porque a atual observação X n 💵 {\displaystyle X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ...

, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}

De forma análoga, 💵 um supermartingale de tempo discreto satisfaz a

E [ X n + 1 | X 1 , .

.

.

, X n 💵 ] ≤ X n .

{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}.

} Da mesma forma, um supermartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ 💵 X t | { X τ : τ ≤ s } ] ≤ X s ∀ s ≤ t .

{\displaystyle 💵 {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t.

} Em teoria do potencial, uma função super-harmônica f {\displaystyle f} Δ f 💵 ≤ 0 {\displaystyle \Delta f\leq 0} Grosso modo, o prefixo "super-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle 💵 X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 , ...

, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}

Exemplos de submartingales e 💵 supermartingales [ editar | editar código-fonte ]

Todo martingale é também um submartingale e um supermartingale.

Reciprocamente, todo processo estocástico que é 💵 tanto um submartingale, como um supermartingale, é um martingale.

Considere novamente um apostador que ganha $1 quando uma moeda der cara 💵 e perde $1 quando a moeda der coroa.

Suponha agora que a moeda possa estar viesada e que ela dê cara 💵 com probabilidade p {\displaystyle p} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 💵 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2}

Uma função convexa de um martingale é um submartingale 💵 pela desigualdade de Jensen.

Por exemplo, o quadrado da riqueza de um apostador em jogo de moeda honesta é um submartingale 💵 (o que também se segue do fato de que X n 2 − n {\displaystyle {X_{n}}^{2}-n}

Martingales e tempos de parada 💵 [ editar | editar código-fonte ]

Um tempo de parada em relação a uma sequência de variáveis aleatórias X 1 , 💵 X 2 , X 3 , ...

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...

} é uma variável aleatória τ {\displaystyle \tau } com a propriedade de 💵 que para cada t {\displaystyle t} , a ocorrência ou a não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau 💵 =t} depende apenas dos valores de X 1 , X 2 , X 3 , ...

, X t {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{t}} 💵 .

A intuição por trás da definição é que, a qualquer tempo particular t {\displaystyle t} , pode-se observar a sequência 💵 até o momento e dizer se é hora de parar.

Um exemplo na vida real pode ser o tempo em que 💵 um apostador deixa a mesa de apostas, o que pode ser uma função de suas vitórias anteriores (por exemplo, ele 💵 pode deixar a mesa apenas quando ele vai à falência), mas ele não pode escolher entre ficar ou sair com 💵 base no resultando de jogos que ainda não ocorreram.[16]

Em alguns contextos, o conceito de tempo de parada é definido exigindo-se 💵 apenas que a ocorrência ou não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau =t} seja probabilisticamente independente de X 💵 t + 1 , X t + 2 , ...

{\displaystyle X_{t+1},X_{t+2},...

} , mas não que isto seja completamente determinado pelo 💵 histórico do processo até o tempo t {\displaystyle t} .

Isto é uma condição mais fraca do que aquela descrita no 💵 parágrafo acima, mas é forte o bastante para servir em algumas das provas em que tempos de parada são usados.

Uma 💵 das propriedades básicas de martingales é que, se ( X t ) t > 0 {\displaystyle (X_{t})_{t>0}} for um (sub/super)martingale 💵 e τ {\displaystyle \tau } for um tempo de parada, então, o processo parado correspondente ( X t τ ) 💵 t > 0 {\displaystyle (X_{t}^{\tau })_{t>0}} definido por X t τ := X min { τ , t } {\displaystyle 💵 X_{t}^{\tau }:=X_{\min\{\tau ,t\}}} é também um (sub/super) martingale.

O conceito de um martingale parado leva a uma série de teoremas importantes, 💵 incluindo, por exemplo, o teorema da parada opcional, que afirma que, sob certas condições, o valor esperado de um martingale 💵 em um tempo de parada é igual ao seu valor inicial.

Em teoria das probabilidades, um martingale é um modelo de 💵 jogo honesto (fair game) em que o conhecimento de eventos passados nunca ajuda a prever os ganhos futuros e apenas 💵 o evento atual importa.

Em particular, um martingale é uma sequência de variáveis aleatórias (isto é, um processo estocástico) para o 💵 qual, a qualquer tempo específico na sequência observada, a esperança do próximo valor na sequência é igual ao valor presentemente 💵 observado, mesmo dado o conhecimento de todos os valores anteriormente observados.[1]

O movimento browniano parado é um exemplo de martingale.

Ele pode 💵 modelar um jogo de cara ou coroa com a possibilidade de falência.

Em contraste, em um processo que não é um 💵 martingale, o valor esperado do processo em um tempo pode ainda ser igual ao valor esperado do processo no tempo 💵 seguinte.

Entretanto, o conhecimento de eventos anteriores (por exemplo, todas as cartas anteriormente retiradas de um baralho) pode ajudar a reduzir 💵 a incerteza sobre os eventos futuros.

Assim, o valor esperado do próximo evento, dado o conhecimento do evento presente e de 💵 todos os anteriores, pode ser mais elevado do que o do presente evento se uma estratégia de ganho for usada.

Martingales 💵 excluem a possibilidade de estratégias de ganho baseadas no histórico do jogo e, portanto, são um modelo de jogos honestos.

É 💵 também uma técnica utilizada no mercado financeiro, para recuperar operações perdidas.

Dobra-se a segunda mão para recuperar a anterior, e assim 💵 sucessivamente, até o acerto.

Martingale é o sistema de apostas mais comum na roleta.

A popularidade deste sistema se deve à como ganhar no bets 💵 simplicidade e acessibilidade.

O jogo Martingale dá a impressão enganosa de vitórias rápidas e fáceis.

A essência do sistema de jogo da 💵 roleta Martingale é a seguinte: fazemos uma aposta em uma chance igual de roleta (vermelho-preto, par-ímpar), por exemplo, no "vermelho": 💵 fazemos uma aposta na roleta por 1 dólar; se você perder, dobramos e apostamos $ 2.

Se perdermos na roleta, perderemos 💵 a aposta atual ($ 2) e a aposta anterior ($ 1) de $ 3.4, por exemplo.

duas apostas ganham (1 + 💵 2 = $ 3) e temos um ganho líquido de $ 1 na roleta.

Se você perder uma segunda vez na 💵 roleta Martingale, dobramos a aposta novamente (agora é $ 4).

Se ganharmos, ganharemos de volta as duas apostas anteriores (1 + 💵 2 = 3 dólares) e a atual (4 dólares) da roda da roleta, e novamente ganharemos 1 dólar do cassino 💵 [2].

Originalmente, a expressão "martingale" se referia a um grupo de estratégias de aposta popular na França do século XVIII.

[3][4] A 💵 mais simples destas estratégias foi projetada para um jogo em que o apostador ganhava se a moeda desse cara e 💵 perdia se a moeda desse coroa.

A estratégia fazia o apostador dobrar como ganhar no bets aposta depois de cada derrota a fim de 💵 que a primeira vitória recuperasse todas as perdas anteriores, além de um lucro igual à primeira aposta.

Conforme o dinheiro e 💵 o tempo disponível do apostador se aproximam conjuntamente do infinito, a possibilidade de eventualmente dar cara se aproxima de 1, 💵 o que faz a estratégia de aposta martingale parecer como algo certo.

Entretanto, o crescimento exponencial das apostas eventualmente leva os 💵 apostadores à falência, assumindo de forma óbvia e realista que a quantidade de dinheiro do apostador é finita (uma das 💵 razões pelas quais casinos, ainda que desfrutem normativamente de uma vantagem matemática nos jogos oferecidos aos seus clientes, impõem limites 💵 às apostas).

Um movimento browniano parado, que é um processo martingale, pode ser usado para descrever a trajetória de tais jogos.

O 💵 conceito de martingale em teoria das probabilidades foi introduzido por Paul Lévy em 1934, ainda que ele não lhes tivesse 💵 dado este nome.

[5] O termo "martingale" foi introduzido em 1939 por Jean Ville,[6] que também estendeu a definição à martingales 💵 contínuos.

[7] Muito do desenvolvimento original da teoria foi feito por Joseph Leo Doob, entre outros.

[8] Parte da motivação daquele trabalho 💵 era mostrar a impossibilidade de estratégias de aposta bem-sucedidas.[9]

Uma definição básica de um martingale de tempo discreto diz que ele 💵 é um processo estocástico (isto é, uma sequência de variáveis aleatórias) X 1 , X 2 , X 3 , 💵 ...

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...

} de tempo discreto que satisfaz, para qualquer tempo n {\displaystyle n} ,

E ( | X n | ) 💵 < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert X_{n}\vert )<\infty }

E ( X n + 1 ∣ X 1 , .

.

.

, 💵 X n ) = X n .

{\displaystyle \mathbf {E} (X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n})=X_{n}.}

Isto é, o valor esperado condicional da próxima observação, 💵 dadas todas as observações anteriores, é igual à mais recente observação.[10]

Sequências martingale em relação a outra sequência [ editar | 💵 editar código-fonte ]

Mais geralmente, uma sequência Y 1 , Y 2 , Y 3 , ...

{\displaystyle Y_{1},Y_{2},Y_{3},...

} é considerada um 💵 martingale em relação a outra sequência X 1 , X 2 , X 3 , ...

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...

} se, para todo 💵 n {\displaystyle n} ,

E ( | Y n | ) < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{n}\vert )<\infty }

E ( 💵 Y n + 1 ∣ X 1 , .

.

.

, X n ) = Y n .

{\displaystyle \mathbf {E} (Y_{n+1}\mid 💵 X_{1},\ldots ,X_{n})=Y_{n}.}

Da mesma forma, um martingale de tempo contínuo em relação ao processo estocástico X t {\displaystyle X_{t}} é um 💵 processo estocástico Y t {\displaystyle Y_{t}} tal que, para todo t {\displaystyle t} ,

E ( | Y t | ) 💵 < ∞ {\displaystyle \mathbf {E} (\vert Y_{t}\vert )<\infty }

E ( Y t ∣ { X τ , τ ≤ s 💵 } ) = Y s ∀ s ≤ t .

{\displaystyle \mathbf {E} (Y_{t}\mid \{X_{\tau },\tau \leq s\})=Y_{s}\quad \forall s\leq t.}

Isto 💵 expressa a propriedade de que o valor esperado condicional de qualquer observação no tempo t {\displaystyle t} , dadas todas 💵 as observações até o tempo s {\displaystyle s} , é igual à observação no tempo s {\displaystyle s} (considerando que 💵 s ≤ t {\displaystyle s\leq t} ).

Em geral, um processo estocástico Y : T × Ω → S {\displaystyle Y:T\times 💵 \Omega \to S} é um martingale em relação a uma filtração Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} e medida de probabilidade 💵 P {\displaystyle P} se

Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} espaço de probabilidade subjacente ( Ω , Σ , P {\displaystyle \Omega 💵 ,\Sigma ,P}

espaço de probabilidade subjacente ( Y {\displaystyle Y} Σ ∗ {\displaystyle \Sigma _{*}} t {\displaystyle t} T {\displaystyle T} 💵 Y t {\displaystyle Y_{t}} função mensurável Σ τ {\displaystyle \Sigma _{\tau }}

função mensurável Para cada t {\displaystyle t} Y t 💵 {\displaystyle Y_{t}} espaço Lp L 1 ( Ω , Σ t , P ; S ) {\displaystyle L^{1}(\Omega ,\Sigma _{t},P;S)}

E 💵 P ( | Y t | ) < + ∞ ; {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }(|Y_{t}|)<+\infty ;}

Para todo s 💵 {\displaystyle s} t {\displaystyle t} s < t {\displaystyle s

E P ( 💵 [ Y t − Y s ] χ F ) = 0 , {\displaystyle \mathbf {E} _{\mathbf {P} }\left([Y_{t}-Y_{s}]\chi _{F}\right)=0,} 💵 em que χ F {\displaystyle \chi _{F}} função indicadora do evento F {\displaystyle F} A última condição é denotada como 💵 Y s = E P ( Y t | Σ s ) , {\displaystyle Y_{s}=\mathbf {E} _{\mathbf {P} }(Y_{t}|\Sigma _{s}),} 💵 que é uma forma geral de valor esperado condicional.[ 11 ]

É importante notar que a propriedade martingale envolve tanto a 💵 filtração, como a medida de probabilidade (em relação à qual os valores esperados são assumidos).

É possível que Y {\displaystyle Y} 💵 seja um martingale em relação a uma medida, mas não em relação a outra.

O Teorema de Girsanov oferece uma forma 💵 de encontrar uma medida em relação à qual um processo de Itō é um martingale.[12]

Exemplos de martingales [ editar | 💵 editar código-fonte ]

Um passeio aleatório não viesado (em qualquer número de dimensões) é um exemplo de martingale.

O dinheiro de um 💵 apostador é um martingale se todos os jogos de aposta com que ele se envolver forem honestos.

Uma urna de Pólya 💵 contém uma quantidade de bolas de diferentes cores.

A cada iteração, uma bola é aleatoriamente retirada da urna e substituída por 💵 várias outras da mesma cor.

Para qualquer cor dada, a fração das bolas na urna com aquela cor é um martingale.

Por 💵 exemplo, se atualmente 95% da bolas são vermelhas, então, ainda que a próxima iteração mais provavelmente adicione bolas vermelhas e 💵 não de outra cor, este viés está exatamente equilibrado pelo fato de que adicionar mais bolas vermelhas altera a fração 💵 de forma muito menos significativa do que adicionar o mesmo número de bolas não vermelhas alteraria.

Suponha que X n {\displaystyle 💵 X_{n}} moeda honesta foi jogada n {\displaystyle n}

moeda honesta foi jogada Considere Y n = X n 2 − n 💵 {\displaystyle Y_{n}={X_{n}}^{2}-n} X n {\displaystyle X_{n}} { Y n : n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle 💵 \{Y_{n}:n=1,2,3,...

\}} raiz quadrada do número de vezes que a moeda for jogada.

raiz quadrada do número de vezes que a moeda 💵 for jogada.

No caso de um martingale de Moivre, suponha que a moeda é desonesta, isto é, viesada, com probabilidade p 💵 {\displaystyle p} q = 1 − p {\displaystyle q=1-p}

X n + 1 = X n ± 1 {\displaystyle X_{n+1}=X_{n}\pm 1} 💵 com + {\displaystyle +} − {\displaystyle -}

Y n = ( q / p ) X n .

{\displaystyle Y_{n}=(q/p)^{X_{n}}.}

Então, { Y 💵 n : n = 1 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...

\}} { X n : n = 1 💵 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...

\}} E [ Y n + 1 ∣ X 1 , .

.

.

, 💵 X n ] = p ( q / p ) X n + 1 + q ( q / p 💵 ) X n − 1 = p ( q / p ) ( q / p ) X n + 💵 q ( p / q ) ( q / p ) X n = q ( q / p ) 💵 X n + p ( q / p ) X n = ( q / p ) X n = 💵 Y n .

{\displaystyle {\begin{aligned}E[Y_{n+1}\mid X_{1},\dots ,X_{n}]&=p(q/p)^{X_{n}+1}+q(q/p)^{X_{n}-1}\\[6pt]&=p(q/p)(q/p)^{X_{n}}+q(p/q)(q/p)^{X_{n}}\\[6pt]&=q(q/p)^{X_{n}}+p(q/p)^{X_{n}}=(q/p)^{X_{n}}=Y_{n}.\end{aligned}}}

No teste de razão de verossimilhança em estatística, uma variável aleatória X {\displaystyle X} f 💵 {\displaystyle f} g {\displaystyle g} amostra aleatória X 1 , ...

, X n {\displaystyle X_{1},...

,X_{n}} [ 13 ] Considere Y 💵 n {\displaystyle Y_{n}}

Y n = ∏ i = 1 n g ( X i ) f ( X i ) 💵 {\displaystyle Y_{n}=\prod _{i=1}^{n}{\frac {g(X_{i})}{f(X_{i})}}}

Se X {\displaystyle X} f {\displaystyle f} g {\displaystyle g} { Y n : n = 1 💵 , 2 , 3 , ...

} {\displaystyle \{Y_{n}:n=1,2,3,...

\}} { X n : n = 1 , 2 , 3 , 💵 ...

} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}

Suponha que uma ameba se divide em duas amebas com probabilidade p {\displaystyle p} 1 − p {\displaystyle 💵 1-p} X n {\displaystyle X_{n}} n {\displaystyle n} X n = 0 {\displaystyle X_{n}=0} r {\displaystyle r} r {\displaystyle r} 💵 p {\displaystyle p} [ 14 ] Então

{ r X n : n = 1 , 2 , 3 , .

.

.

💵 } {\displaystyle \{\,r^{X_{n}}:n=1,2,3,\dots \,\}}

é um martingale em relação a { X n : n = 1 , 2 , 3 💵 , ...

} {\displaystyle \{X_{n}:n=1,2,3,...\}}

Uma série martingale criada por software.

Em uma comunidade ecológica (um grupo de espécies em um nível trófico 💵 particular, competindo por recursos semelhantes em uma área local), o número de indivíduos de qualquer espécie particular de tamanho fixado 💵 é uma função de tempo (discreto) e pode ser visto como uma sequência de variáveis aleatórias.

Esta sequência é um martingale 💵 sob a teoria neutra unificada de biodiversidade e biogeografia.

Se { N t : t ≥ 0 } {\displaystyle \{N_{t}:t\geq 0\}} 💵 processo de Poisson com intensidade λ {\displaystyle \lambda } { N t − λ t : t ≥ 0 } 💵 {\displaystyle \{N_{t}-\lambda _{t}:t\geq 0\}}

Submartingales, supermartingales e relação com funções harmônicas [ editar | editar código-fonte ]

Há duas generalizações populares de 💵 um martingale que também incluem casos em que a observação atual X n {\displaystyle X_{n}} não é necessariamente igual à 💵 futura expectativa condicional E [ X n + 1 | X 1 , ...

, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...

,X_{n}]} , 💵 mas, em vez disto, a um limite superior ou inferior à expectativa condicional.

Estas definições refletem uma relação entre a teoria 💵 do martingale e a teoria do potencial, que é o estudo das funções harmônicas.

[15] Assim como um martingale de tempo 💵 contínuo satisfaz a E [ X t | { X τ : τ ≤ s } − X s = 💵 0 ∀ s ≤ t {\displaystyle E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}-X_{s}=0\forall s\leq t} , uma função harmônica f {\displaystyle f} satisfaz 💵 a equação diferencial parcial Δ f = 0 {\displaystyle \Delta f=0} , em que Δ {\displaystyle \Delta } é o 💵 operador de Laplace.

Dado um processo de movimento browniano W t {\displaystyle W_{t}} e uma função harmônica f {\displaystyle f} , 💵 o processo resultante f ( W t ) {\displaystyle f(W_{t})} também é um martingale.

Um submartingale de tempo discreto é uma 💵 sequência X 1 , X 2 , X 3 , .

.

.

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots } integráveis que satisfaz a

E [ X 💵 n + 1 | X 1 , .

.

.

, X n ] ≥ X n .

{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\geq X_{n}.

} Da 💵 mesma forma, um submartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X τ : τ ≤ 💵 s } ] ≥ X s ∀ s ≤ t .

{\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\geq X_{s}\quad \forall s\leq t.

} Em 💵 teoria do potencial, uma função sub-harmônica f {\displaystyle f} Δ f ≥ 0 {\displaystyle \Delta f\geq 0} Grosso modo, o 💵 prefixo "sub-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle X_{n}} E [ X n + 1 | X 💵 1 , ...

, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}

De forma análoga, um supermartingale de tempo discreto satisfaz a

E [ X n 💵 + 1 | X 1 , .

.

.

, X n ] ≤ X n .

{\displaystyle {}E[X_{n+1}|X_{1},\ldots ,X_{n}]\leq X_{n}.

} Da mesma 💵 forma, um supermartingale de tempo contínuo satisfaz a E [ X t | { X τ : τ ≤ s 💵 } ] ≤ X s ∀ s ≤ t .

{\displaystyle {}E[X_{t}|\{X_{\tau }:\tau \leq s\}]\leq X_{s}\quad \forall s\leq t.

} Em teoria 💵 do potencial, uma função super-harmônica f {\displaystyle f} Δ f ≤ 0 {\displaystyle \Delta f\leq 0} Grosso modo, o prefixo 💵 "super-" é consistente porque a atual observação X n {\displaystyle X_{n}} E [ X n + 1 | X 1 💵 , ...

, X n ] {\displaystyle E[X_{n+1}|X_{1},...,X_{n}]}

Exemplos de submartingales e supermartingales [ editar | editar código-fonte ]

Todo martingale é também 💵 um submartingale e um supermartingale.

Reciprocamente, todo processo estocástico que é tanto um submartingale, como um supermartingale, é um martingale.

Considere novamente 💵 um apostador que ganha $1 quando uma moeda der cara e perde $1 quando a moeda der coroa.

Suponha agora que 💵 a moeda possa estar viesada e que ela dê cara com probabilidade p {\displaystyle p} Se p {\displaystyle p} 1 💵 / 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} Se p {\displaystyle p} 1 / 2 💵 {\displaystyle 1/2}

Uma função convexa de um martingale é um submartingale pela desigualdade de Jensen.

Por exemplo, o quadrado da riqueza de 💵 um apostador em jogo de moeda honesta é um submartingale (o que também se segue do fato de que X 💵 n 2 − n {\displaystyle {X_{n}}^{2}-n}

Martingales e tempos de parada [ editar | editar código-fonte ]

Um tempo de parada em 💵 relação a uma sequência de variáveis aleatórias X 1 , X 2 , X 3 , ...

{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...

} é uma 💵 variável aleatória τ {\displaystyle \tau } com a propriedade de que para cada t {\displaystyle t} , a ocorrência ou 💵 a não ocorrência do evento τ = t {\displaystyle \tau =t} depende apenas dos valores de X 1 , X 💵 2 , X 3 , ...

, X t {\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{t}} .

A intuição por trás da definição é que, a qualquer 💵 tempo particular t {\displaystyle t} , pode-se observar a sequência até o momento e dizer se é hora de parar.

Um 💵 exemplo na vida real pode ser o tempo em que um apostador deixa a mesa de apostas, o que pode 💵 ser uma função de suas vitórias anteriores (por exemplo, ele pode deixar a mesa apenas quando ele vai à falência), 💵 mas ele não pode escolher entre ficar ou sair com base no resultando de jogos que ainda não ocorreram.[16]

Em alguns 💵 contextos, o conceito de tempo de parada é definido exigindo-se apenas que a ocorrência ou não ocorrência do evento τ 💵 = t {\displaystyle \tau =t} seja probabilisticamente independente de X t + 1 , X t + 2 , ...

{\displaystyle 💵 X_{t+1},X_{t+2},...

} , mas não que isto seja completamente determinado pelo histórico do processo até o tempo t {\displaystyle t} .

Isto 💵 é uma condição mais fraca do que aquela descrita no parágrafo acima, mas é forte o bastante para servir em 💵 algumas das provas em que tempos de parada são usados.

Uma das propriedades básicas de martingales é que, se ( X 💵 t ) t > 0 {\displaystyle (X_{t})_{t>0}} for um (sub/super)martingale e τ {\displaystyle \tau } for um tempo de parada, 💵 então, o processo parado correspondente ( X t τ ) t > 0 {\displaystyle (X_{t}^{\tau })_{t>0}} definido por X t 💵 τ := X min { τ , t } {\displaystyle X_{t}^{\tau }:=X_{\min\{\tau ,t\}}} é também um (sub/super) martingale.

O conceito de 💵 um martingale parado leva a uma série de teoremas importantes, incluindo, por exemplo, o teorema da parada opcional, que afirma 💵 que, sob certas condições, o valor esperado de um martingale em um tempo de parada é igual ao seu valor 💵 inicial.

I refer to all the days as "Bonus Days." Now that I am in my golden years I refer to them as "Double Bonus Days!"