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The probability that the gambler will lose all n bets is qn. When all bets lose, the total loss is

In 🧾 a unique circumstance, this strategy can make sense. Suppose the gambler possesses exactly 63 units but desperately needs a total 🧾 of 64. Assuming q > 1/2 (it is a real casino) and he may only place bets at even odds, 🧾 his best strategy is bold play: at each spin, he should bet the smallest amount such that if he wins 🧾 he reaches his target immediately, and if he does not have enough for this, he should simply bet everything. Eventually 🧾 he either goes bust or reaches his target. This strategy gives him a probability of 97.8744% of achieving the goal 🧾 of winning one unit vs. a 2.1256% chance of losing all 63 units, and that is the best probability possible 🧾 in this circumstance.[2] However, bold play is not always the optimal strategy for having the biggest possible chance to increase 🧾 an initial capital to some desired higher amount. If the gambler can bet arbitrarily small amounts at arbitrarily long odds 🧾 (but still with the same expected loss of 10/19 of the stake at each bet), and can only place one 🧾 bet at each spin, then there are strategies with above 98% chance of attaining his goal, and these use very 🧾 timid play unless the gambler is close to losing all his capital, in which case he does switch to extremely 🧾 bold play.[3]

The previous analysis calculates expected value, but we can ask another question: what is the chance that one can 🧾 play a casino game using the martingale strategy, and avoid the losing streak long enough to double one's bankroll?

As before, 🧾 this depends on the likelihood of losing 6 roulette spins in a row assuming we are betting red/black or even/odd. 🧾 Many gamblers believe that the chances of losing 6 in a row are remote, and that with a patient adherence 🧾 to the strategy they will slowly increase their bankroll.

In a classic martingale betting style, gamblers increase bets after each loss 🧾 in hopes that an eventual win will recover all previous losses. The anti-martingale approach, also known as the reverse martingale, 🧾 instead increases bets after wins, while reducing them after a loss. The perception is that the gambler will benefit from 🧾 a winning streak or a "hot hand", while reducing losses while "cold" or otherwise having a losing streak. As the 🧾 single bets are independent from each other (and from the gambler's expectations), the concept of winning "streaks" is merely an 🧾 example of gambler's fallacy, and the anti-martingale strategy fails to make any money.

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